まず大切なのは、戸が持ちあがらないようにすること。
和室の戸、ふすまに鍵をつける方法がないものかと検索するとかならず、ふすまは持ちあげるとすぐにはずれてしまうから鍵をつけても無駄、みたいな文章にぶちあたります。
うーん、そうか、じゃあ無駄か……
と、あきらめがちになりますが、いや、しかし
持ちあがるとはずれてしまうなら、持ちあがらないようにすればいいじゃないか!
家が古くなり鴨居が下がってきて障子やふすまがはずれなくなった経験ある方ならご存じの通り、持ちあげてはずせなくなった引き戸は、戸がこわれるくらいの蹴りをガンガンガンガン入れてもなかなかはずれないのです。
ふすまがはまっているミゾの下側のほうなんてほんの1ミリかそこらの浅さなのにがっちりとくいこんで簡単にははずれてはくれません。
これくらい強力なら洋室の扉に引けをとらないでしょう。
上側の溝はふすまがもちあがるように深く掘ってあるので、そのすきまを埋めてしまえば、ふすまはもちががらなくなります。
すきまを埋めるのには、カップアイスの木製スプーンやアイスの棒、その他、プラスチックを細長く切った物など、板状のものならば何でもかまいません。
それを両面テープで重ね張りして、できるだけぎりぎりまで戸のすきまを埋めていきます。
貼り付け箇所は、戸やふすまを閉めたときの左右の2カ所(できれば真ん中も)です。こうしておくと、ふすまを開く位置までスライドさせれば、通常通り、ふすまをもちあげてはずしてしまうことができます。

もう一方のふすまの溝にも同様に板を張り付けていきます。
ふすまを開け閉めしながら貼り付けていくと厚みの調整がうまくいきます。
また、ふすまを持ちあげてみて、はずれないかの確認もしてください。
以上で、第1段階完了、つぎに鍵をとりつけます。

自分は、アルミサッシなどの窓に取り付けられる防犯用の鍵をつかいました。
日本ロックサービスの「はいれーぬ 鍵付」です(→公式サイトの商品ページ)。
価格は1000~2000円。

内はふすま、外は木製の引き戸にみえるタイプなのでこんなかんじ。
「はいれーぬ」は戸と戸のあいだに鍵のプレートが入り込むにすきまがないといけないんですけど、たいがいの引き戸は上下の端はぴったりしていても中央へいくほどにすきまがあるで(開閉をスムーズにするためか、はたまた、ただの歪みか)取り付けられると思います。確認してから、すべての作業をおこなってください。
すきまがない場合はべつタイプの鍵を探してみましょう。
鍵を閉めるとS字になってがっちり二つの戸を動かなくするような鍵がでないものか……でも需要ないからむりか。